本文主要推导点到平面的距离公式。首先，我们假设平面的方程为：
$$
\overrightarrow{n}\textbf{p} + d = 0
$$
这里，$\overrightarrow{n}$为平面的法向量。$\textbf{p}$为平面上任意点。我们的问题是给定该平面，对于一个不在平面上的点$\textbf{q}$，求点到平面的距离。
很明显，平面上存在一个点$\textbf{p}$，它到点$\textbf{q}$的距离最短。从点$\textbf{p}$到点$\textbf{q}$的向量垂直于平面，记为$k\overrightarrow{e}$。那么$k$即为要求的有符号距离，如图所示。
开始，我们有：
$$
k\overrightarrow{e} = \textbf{q} - \textbf{p}
$$
即：
$$
k\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{n} = \textbf{q}\overrightarrow{n} - \textbf{p}\overrightarrow{n}
$$
将$\overrightarrow{n}\textbf{p} + d = 0$代入，可得到：
$$
k\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{n} = \textbf{q}\overrightarrow{n} + d
$$
所以求出k为：
$$
k = \dfrac{\textbf{q}\overrightarrow{n} + d} {|\overrightarrow{n}|}
$$
如果法向量为单位向量的话，那么分母为1，从而$k = \textbf{q}\overrightarrow{n} + d$。